図形型 ─ 解法フレーム

図形が段階的に変化するとき。個数を数えてA型（数列型）に帰着させる。

過去問例題ハイレベルテスト中3・2025年4月　★★★ 全文を見る →

●を正方形の外周（1辺 n 個）に並べ、ルールにしたがって並べ直す

① 1辺10個で並べ直すと、最上段は何個か ② 最上段が12個になるとき、全部の●の個数を求めよ ③ 最上段が a 個になるとき、全部の●の個数を a の式で表せ

解法の3ステップ

①

1段目・2段目・3段目の「個数」を実際に数えて書く 図を見て個数を確認。面倒でも必ず書く。個数の差や比が見えてくる。

②

その個数の並びをA型（数列型）で解く 差が一定→等差、差の差が一定→2次式型、のように5ステップを試す。

③

n番目の個数を式で表し、問いに答える 問いが「個数」なら式をそのまま使う。「合計」なら等差数列の和の公式を使う。

パターン別公式リスト

一列に増える型

1段目：■ 2段目：■■■ 3段目：■■■■■ 個数：1, 3, 5, 7 … 差が2で一定 → 等差

n段目＝ 2n－1

差が一定 → A型のステップ①で解決

三角形に並ぶ型（碁石）

1段目：● 2段目：●● 3段目：●●● 個数：1, 3, 6, 10, 15 … 差：2, 3, 4, 5 …（等差）

n段目の合計＝ n(n＋1)÷2

差①が等差 → A型のステップ②（2次式型）

正方形に並ぶ型

1段目：● 2段目：●●●● 3段目：●●●●●●●●● 個数：1, 4, 9, 16 … → n² （完全平方数）

n段目＝ n²

1, 4, 9, 16 が出たら即 n² と気づく

積み重ね型（ハイレベルテスト頻出）

立体を積み重ねる型

例：正六角柱を積み重ねる

1段：1個 → 見える面の数：？ 2段：2個 → 見える面の数：？ 3段：3個 → 見える面の数：？

↓ 面の数・辺の数を数えて数列に

手順：
① 1段・2段・3段の面数を数えて書く
② 差を書く → 一定なら等差
③ n段のときの式を作る

周囲の長さ・面積が増える型

例：正方形のタイルを並べる

1個：周囲＝4 2個並べる：周囲＝6 3個並べる：周囲＝8 差が2で一定 → 等差数列

n個並べたときの周囲＝ 2n＋2

コツ：
「増えた分だけ」に注目する。
毎回何が増えるか（＋2辺、など）を
図で確認してから式を作る。

間違えやすいポイント

❌ 「n番目の個数」と「n番目までの個数の合計」を混同する
　→ 問いをよく読む。「n段目」か「1段目からn段目まで合計」かを確認。

❌ 図を見て公式を当てはめようとする（個数を数えない）
　→ 必ず1・2・3段目の個数を紙に書いてから始める。