A

数列型 ─ 5ステップ診断フレーム

差を書く前に考え始めない。ステップ通りに試せば必ず型が見つかる。

過去問例題 ハイレベルテスト 中3・2024年4月　★★★ 全文を見る →
1, 2, 2 ｜ 1, 2, 3, 3, 2 ｜ 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2 ｜ 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2 ｜ …
① はじめて 9 が現れるのは何番目か ② 13回目の 4 が現れるのは何番目か ③ 16回目の 2 が現れるまでに並べた数の総和
最初に1回だけ読む約束　ステップは5つ。順番に試すだけでいい。ひとつ試してダメだったら「じゃあ次」と進む。止まらない。
診断フロー ─ この順番で試す
解き方 ─ 型が決まったらここを見る
①差を書く
隣り合う数を引き算して、差を全部書く。
数列： 2 5 8 11 14 差　： +3 +3 +3 +3
確認：差がすべて同じか？
同じ → 解き方 Aバラバラ →「等差じゃない。次。」
A
等差数列
差が一定
頻出問題
① n番目の数を聞いてくる
公式　n番目 ＝ 最初の数 ＋ (n－1) × 差
② n番目までの合計を聞いてくる
公式　合計 ＝ (最初＋最後) × 個数 ÷ 2
②差の差を書く
①で書いた差を、さらに引き算する。
数列： 1 2 4 7 11 各差： +1 +2 +3 +4 差の差： +1 +1 +1
確認：差②がすべて同じか？
同じ → 解き方 Bバラバラ →「2次式型でもない。次。」
B
2次式型（階差数列）
各差がバラバラ・差の差が一定
頻出問題
n番目の数を聞いてくる
公式　n番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計（(n−1)個分）
計算練習 7問 →
③比を書く
右の数 ÷ 左の数を全部書く。
数列： 3 6 12 24 比　： ×2 ×2 ×2
確認：比がすべて同じか？
同じ → 解き方 Cバラバラ →「等比でもない。次。」
C
等比数列
比が一定
頻出問題
n番目の数を聞いてくる
公式　n番目 ＝ 最初の数 × 比(n－1)
④繰り返しを目で探す
数列をながめて、同じかたまりが繰り返されていないか確認。
数列： 1 3 2 1 3 2 1 3 2 … └──┘ └──┘ └──┘ 「1, 3, 2」が繰り返されている
確認：同じかたまりが繰り返されているか？
ある → 解き方 Dない →「周期でもない。次。」
D
周期数列
同じかたまりが繰り返される
頻出問題
n番目の数を聞いてくる
公式　n ÷ 周期 の余り → 1セット内の位置
⑤グループに分けられるか
よく出てくる数（「1」など）の位置を確認する。
1 2 2 1 2 3 3 2 1 … ↑ ↑ ↑ 1番目 4番目 9番目 1² 2² 3² →「1」で区切るとグループができる
確認：グループに分けると整理できるか？
できる → 解き方 E※ここまで来れば必ず当てはまる
E
群数列
グループに分けると整理できる
頻出問題
公式はない。毎回自分で表を作り、「何群の何番目か」に変換して解く。
N番目の数を聞いてくる
○が何番目に初めて出るかを聞いてくる
合計を聞いてくる
群個数最大値累計個数
第1群323
第2群538
第3群7415
第n群2n+1n+1n(n+2)
▼ 問いのパターン別・考え方の手順（詳細）
解き方 E 詳細：群数列 ─ 考え方の地図
群数列を解くには2つのことを確認する。
①各群に何個あるか
②どの群の何番目に当たるか
この2つがわかれば答えが出る。そのために表を作る。
準備：グループ表を作る（全パターン共通）
1, 2, 2 ｜ 1, 2, 3, 3, 2 ｜ 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2 ｜ 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2 ｜ …
群中身個数最大値累計個数
第1群1, 2, 2323
第2群1, 2, 3, 3, 2538
第3群1, 2, 3, 4, 4, 3, 27415
第4群1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 29524
第n群1, 2, …, n+1, n+1, …, 22n+1n+1n(n+2)
個数の規則：3, 5, 7, 9, … と2ずつ増える → 第n群は (2n+1) 個
最大値の規則：2, 3, 4, 5, … → 第n群の最大値は (n+1)。「○が初めて登場するのは第何群か」は「n+1＝○」を解けばわかる。
累計の規則：3+5+7+…+(2n+1) ＝ n(n+2)　←　なぜ？下の導出を参照
なぜ累計が n(n+2) になるのか ── 累計列をB型として解く 累計： 3 8 15 24 … 各差： +5 +7 +9 （差の差＝2 → B型） 各差の合計（1〜n−1番目）＝ (5＋(2n+1))×(n-1)÷2 ＝ (n+3)(n-1) ＝ n²+2n−3 累計(n) ＝ 3 ＋ (n²+2n−3) ＝ n(n+2)
パターン① ─ N番目の数は何か
1
累計表で「何群に入るか」を探す前の群の累計 ＜ N ≤ その群の累計、となる群を見つける
2
群内の位置を出すN ─ 前の群の累計 ＝ 群内何番目か
3
その群の構造から答えを読む群は「1→最大値→2」と上り下りする。何番目かわかれば値が決まる
パターン② ─ ○がM回目に出るのは何番目か
1
○が初登場する群を特定最大値＝n+1なので「n+1＝○」を解く → 第n群が初登場
2
1つの群に○は何個か確認初登場群以降は毎群2個（上りに1個・下りに1個。最大値のときも頂上が2並びで2個）
3
M ÷ 2 ＝ 商q 余りr で群を決める商q＝完了した群の数 → 初登場群から q 群後が目的の群（余り0のときは q−1 群後の末尾）
4
前の群の累計 ＋ 群内の位置で答え
パターン③ ─ 合計・総和を求める
1
「どの群まで」の和かを確認パターン②で「○がM回目 ＝ 第△群の末尾」が決まれば合計範囲が確定する
2
第n群の和の公式を作る群の構造（上り＋下り）を見て和を式で表す。各数が何回登場するか数えるのがコツ
3
第1群から最終群まで合計する
この過去問で確認する
ハイレベルテスト 中3・2024年4月　─　1, 2, 2 ｜ 1, 2, 3, 3, 2 ｜ 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2 ｜ …
問(1)　パターン② を使う
はじめて 9 が現れるのは何番目か
❶9が初登場する群：最大値＝n+1＝9 → n＝8 → 第8群が初登場
❷第8群の構造：1, 2, 3, …, 8, 9, 9, 8, …, 2　→　9は群内9番目に初登場
❸第7群までの累計：n(n+2) に n＝7 を代入 → 7×9＝63
→63 ＋ 9 ＝ 72番目
問(2)　パターン② を使う
13回目の 4 が現れるのは何番目か
❶4が初登場する群：n+1＝4 → n＝3 → 第3群が初登場
❷第3群以降、各群に4は2個ずつ（上りの「…3,4,5…」で1個、下りの「…5,4,3…」で1個）
❸13 ÷ 2 ＝ 6 余り 1
　→ 商6：第3群〜第8群の6グループが完了（4が12個終わる）
　→ 余り1：次の第9群（第3+6＝9群）の、1番目の4
❹第9群の構造：1, 2, 3, 4, 5, … → 4は群内4番目
❺第8群までの累計：8×(8+2)＝8×10＝80
→80 ＋ 4 ＝ 84番目
問(3)　パターン③ を使う
16回目の 2 が現れるまでに並べた数の総和
❶各群に2は2個（群の2番目と末尾）→ 16 ÷ 2 ＝ 8 → 16回目の2は第8群の末尾
❷第n群の和を公式化する：
　第n群 ＝ 1, 2, 3, …, n, n+1, n+1, n, …, 3, 2
　→ 1は1回だけ、2〜(n+1)はそれぞれ2回ずつ登場する
　→ 和 ＝ 1 ＋ 2×(2+3+…+(n+1))
　　　＝ 1 ＋ 2×{(n+1)(n+2)/2 − 1}
　　　＝ (n+1)(n+2) − 1
❸第1〜8群の和を合計する：
　n＝1：2×3−1＝5　　　n＝2：3×4−1＝11　　n＝3：4×5−1＝19　　n＝4：5×6−1＝29
　n＝5：6×7−1＝41　　n＝6：7×8−1＝55　　n＝7：8×9−1＝71　　n＝8：9×10−1＝89
　5+11+19+29+41+55+71+89＝320