表組み型 ─ 解法フレーム

数が格子・表に並んでいるとき。問いはすべて「位置→数」か「数→位置」の変換。その公式を作るのがこの型のすること。

問いはすべて「位置 → 数」か「数 → 位置」の変換

m行目・n列目の数は何か　／　この数は何行目・何列目か
変換公式を作ることが、表組み型のすること。公式の形は表の形で決まる。だから最初に表の形を見る。

まず「表の形」でパターンを決める

パターン①　単方向型

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 → 右端で折り返す

長方形の表。左→右・上→下に順番に並ぶ。向きは変わらない。

公式：c(m-1) + n

パターン②　蛇行型

1 6 7 12 2 5 8 11 3 4 9 10 ↓ ↑ ↓ ↑

長方形の表。列ごとに↓↑と向きが変わる。「奇数列↓・偶数列↑」と書いてある。

n列目 = {3n-2, 3n-1, 3n} の3つ

パターン③　三角形状型

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 右上（か右下）が空白

表が三角形の形をしている。右上か右下が空白になっている。

斜めの番号 k = m + n - 1

パターン①：単方向型

考え方：「何番目の数か」と問い直す

例：9列の表で (2行目, 7列目) の数は？ 1行目に 9個ある → その先の 7番目 → 9 × 1 + 7 = 16番目 → 数は 16 ✓ m行目・n列目の数は何番目か？ → 前の (m-1) 行に 9×(m-1) 個ある → その先の n番目 → 9(m-1) + n 番目 → 数はその値

(m行目, n列目) ＝ c × (m－1) ＋ n
c ＝列数（まず「何列の表か」を確認する）

逆算（数→位置）の手順

c×(m-1)＋n ＝ K が与えられたとき

K ÷ c を計算する
　余り → n（列）
　商＋1 → m（行）

⚠️ 余りが 0 のとき
　→ n ＝ c（最終列）、m ＝商

例：9(m-1) + n = 616

616 ÷ 9 ＝ 68 あまり 4
→ n ＝ 4、m ＝ 68＋1 ＝ 69

応用：ブロックの和（複数マスの合計）

左上を a とおくと、他のマスが決まる

a	a＋1
a＋9	a＋10
a＋18	a＋19

ずれの大きさは2つのルールで決まる：
右に1列 → ＋1
下に1行 → ＋列数（この問題では＋9）

→ ブロックの形と列数が決まれば、
　ずれは常に同じ。どこにあっても変わらない。

合計の式を作る

6つのマスの合計
＝ a＋(a＋1)＋(a＋9)＋(a＋10)＋(a＋18)＋(a＋19)
＝ 6a ＋ (0＋1＋9＋10＋18＋19)
＝ 6a ＋ 57

57 は「2列×3行・列数9」のブロックから決まる固定値。
ブロックがどこにあっても 57 は変わらない。

あとは方程式を解く

6a ＋ 57 ＝ 5013
6a ＝ 4956　→　a ＝ 826

826 ÷ 9 ＝ 91 余り 7
→ m ＝ 92、n ＝ 7

過去問例題① ハイレベルテスト中3・2025年5月　★★ 全文を見る → 解答を見る →

9列の表に自然数を左→右・上→下で並べ、位置を (m, n) で表す（例：(2, 7) = 16）

① (m, n) ＋ (11, 4) ＝ 710 を満たす m, n を求めよ　〔位置→数・数→位置〕 ② 隣接する 2×3 の 6 マスの合計＝ 5013 を満たす m, n を求めよ（n ≤ 8）

フレーム接続

① 公式 (m,n)=9(m-1)+n を使う → (11,4)=94 → (m,n)=616 → 616÷9=68余り4 → m=69, n=4
② ブロックの和：左上を a とおく → 6a+57=5013 → a=826 → 826÷9=91余り7 → m=92, n=7

パターン②：蛇行型

考え方：「n列目には何が入るか」と問い直す

n列目までに含まれる数の総数＝ 3 × n 個 → n列目には 3n-2番目・3n-1番目・3n番目の数が入る → つまり 3n-2、3n-1、3n の3つ（順番だけ奇数列と偶数列で違う）

奇数列（↓）: 上＝3n-2　中＝3n-1　下＝3n
偶数列（↑）: 上＝3n　　中＝3n-1　下＝3n-2

確認（第2列・偶数列）

上段＝ 3×2 ＝ 6 ✓
中段＝ 3×2－1 ＝ 5 ✓
下段＝ 3×2－2 ＝ 4 ✓

「何列目か」を求める手順

① ある数が何番目かを確認
② ÷ 3 して何列目かを求める
　（余りが 0 → その列の最後の数）
③ 奇数列か偶数列かで上中下を決める

⚠️ この公式は3行の蛇行型に限る。
行数が変わると公式も変わる（4行なら {4n-3, 4n-2, 4n-1, 4n}）。
ただし過去問はほぼすべて3行で出題されている。

過去問例題② ハイレベルテスト中3・2024年5月　★★★ 全文を見る → 解答を見る →

3行の表に自然数を奇数列↓・偶数列↑の順で埋める

① 12番目の表の下段・右端から3番目の数を求めよ　〔位置→数〕 ② aを偶数・bを3以上の奇数とし、2つの条件を満たす a, b を求めよ（連立）

フレーム接続

① n列目の数は {3n-2, 3n-1, 3n} → 何列目かを ÷3 で求める → 奇数列↓か偶数列↑かで上中下を決める
② 「aが偶数列」「bが奇数行」の2条件を奇数列・偶数列それぞれの式で立てて連立する

パターン③：三角形状型（対角線配置）　中3頻出

考え方：「斜めのグループ」に注目する

行＼列 1 2 3 4 5 6 6行目 21 · · · · · 5行目 15 20 · · · · 4行目 10 14 19 · · · 3行目 6 9 13 18 · · 2行目 3 5 8 12 17 · 1行目 1 2 4 7 11 16 斜め1番目：1 （1個）斜め2番目：2, 3 （2個）斜め3番目：4, 5, 6 （3個）

同じ斜め上の数はすべて「行＋列－1」が同じ。
→ この値を k（斜めの番号） と呼ぶ

公式の導き方

k番目の斜めより前に何個あるか？
1＋2＋…＋(k-1) ＝ k(k-1)÷2 個

→ k番目の斜めの先頭の数＝ k(k-1)÷2 ＋ 1
→ m行目にある数＝先頭からm番目
＝ k(k-1)÷2 ＋ m

k ＝ m ＋ n － 1
(m行目, n列目) の数＝ k(k-1)÷2 ＋ m

例：下から2行目・左から9列目の数

k ＝ 2＋9－1 ＝ 10
先頭＝ 10×9÷2＋1 ＝ 46
2行目 → 先頭から2番目
答え＝ 46＋(2－1) ＝ 47

過去問例題③ 特訓選抜中3・2025年度第6回　★★ 全文を見る → 解答を見る →

自然数を三角形状の表に配置（1行目:1,2,4,7,11,16…　2行目:3,5,8,12…　各行・列に規則あり）

① 下から2行目・左から9列目の数を求めよ　〔位置→数〕 ② 62は下から何行目・左から何列目か　〔数→位置〕 ③ 360の右どなりにある数を求めよ

フレーム接続

① k=2+9-1=10 → 10×9÷2+2 = 47
② k(k-1)÷2 < 62 の最大k=11（55<62≤66）→ m=62-55=7行目, n=11-7+1=5列目
③ 右どなりは (m, n+1) → 360はk=27, m=9, n=19 → 右は(9,20), k=28 → 387