解き方
B
階差数列 ─ 計算練習
7問。差を書いて・合計を出して・足す。この3ステップだけ。
Stage 1 基本 ─ 差の差が一定 各差が等差数列になっている。合計は等差数列の合計公式で求める。
1
1, 2, 4, 7, 11, 16, …
★★
1, 2, 4, 7, 11, 16, …
10番目の数を求めよ。
数列： 1 2 4 7 11 16
各差： +1 +2 +3 +4 +5
差の差： +1 +1 +1 +1 ← 一定 → 解き方B
❶
各差の列を確認する
各差：1, 2, 3, 4, 5, … → 初項1・公差1の等差数列
❷
10番目に必要な各差の個数：9個（1番目→10番目には差を9回足す）
各差の9番目 ＝ 1＋(9−1)×1 ＝ 9
❸
等差数列の合計公式で各差の合計（1〜9番目）を求める
(1＋9)×9÷2 ＝ 10×9÷2 ＝ 45
❹
10番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 1 ＋ 45 ＝ 46
答え：46
2
0, 1, 3, 6, 10, 15, …
★★
0, 1, 3, 6, 10, 15, …
10番目の数を求めよ。
数列： 0 1 3 6 10 15
各差： +1 +2 +3 +4 +5
差の差： +1 +1 +1 +1 ← 一定 → 解き方B
各差の列は問1と同じ（初項1・公差1）。最初の数が0なので答えが変わる点に注意。
❶
各差の列を確認する
各差：1, 2, 3, 4, 5, … → 初項1・公差1の等差数列
❷
各差の9番目の値を求める
各差の9番目 ＝ 1＋(9−1)×1 ＝ 9
❸
等差数列の合計公式で各差の合計（1〜9番目）を求める
(1＋9)×9÷2 ＝ 45
❹
10番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 0 ＋ 45 ＝ 45
答え：45
3
1, 3, 7, 13, 21, 31, …
★★
1, 3, 7, 13, 21, 31, …
10番目の数を求めよ。
数列： 1 3 7 13 21 31
各差： +2 +4 +6 +8 +10
差の差： +2 +2 +2 +2 ← 一定 → 解き方B
❶
各差の列を確認する
各差：2, 4, 6, 8, 10, … → 初項2・公差2の等差数列
❷
各差の9番目の値を求める
各差の9番目 ＝ 2＋(9−1)×2 ＝ 2＋16 ＝ 18
❸
等差数列の合計公式で各差の合計（1〜9番目）を求める
(2＋18)×9÷2 ＝ 20×9÷2 ＝ 90
❹
10番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 1 ＋ 90 ＝ 91
答え：91
4
5, 10, 17, 26, 37, …
★★
5, 10, 17, 26, 37, …
10番目の数を求めよ。
数列： 5 10 17 26 37
各差： +5 +7 +9 +11
差の差： +2 +2 +2 ← 一定 → 解き方B
各差の初項が5（1や2でない）。手順は変わらない。初項・公差を正確に読み取ることが大切。
❶
各差の列を確認する
各差：5, 7, 9, 11, … → 初項5・公差2の等差数列
❷
各差の9番目の値を求める
各差の9番目 ＝ 5＋(9−1)×2 ＝ 5＋16 ＝ 21
❸
等差数列の合計公式で各差の合計（1〜9番目）を求める
(5＋21)×9÷2 ＝ 26×9÷2 ＝ 117
❹
10番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 5 ＋ 117 ＝ 122
答え：122
5
2, 5, 10, 17, 26, 37, …
★★
2, 5, 10, 17, 26, 37, …
10番目の数を求めよ。
数列： 2 5 10 17 26 37
各差： +3 +5 +7 +9 +11
差の差： +2 +2 +2 +2 ← 一定 → 解き方B
❶
各差の列を確認する
各差：3, 5, 7, 9, 11, … → 初項3・公差2の等差数列
❷
各差の9番目の値を求める
各差の9番目 ＝ 3＋(9−1)×2 ＝ 3＋16 ＝ 19
❸
等差数列の合計公式で各差の合計（1〜9番目）を求める
(3＋19)×9÷2 ＝ 22×9÷2 ＝ 99
❹
10番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 2 ＋ 99 ＝ 101
答え：101
Stage 1 発展 ─ 差の列が等比 差の差が一定にならない → 差の比を見る。合計は等比数列の合計公式で求める。
6
2, 3, 5, 9, 17, 33, …
★★★
2, 3, 5, 9, 17, 33, …
8番目の数を求めよ。
数列： 2 3 5 9 17 33
各差： +1 +2 +4 +8 +16
比： ×2 ×2 ×2 ×2 ← 一定 → 差の列が等比（公比2）
差の差を計算すると +1, +2, +4, … とバラバラ → 差の差は一定でない。次に差の比を見る。×2で一定 → 差の列が等比数列。
❶
各差の列を確認する
各差：1, 2, 4, 8, 16, … → 初項1・公比2の等比数列
❷
8番目に必要な各差の個数：7個（各差の1〜7番目）
各差の7番目 ＝ 1×26 ＝ 64
❸
等比数列の合計公式で各差の合計（1〜7番目）を求める
初項×(公比個数−1)÷(公比−1)
＝ 1×(27−1)÷(2−1)
＝ (128−1)÷1
＝ 127
❹
8番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 2 ＋ 127 ＝ 129
答え：129
7
1, 2, 5, 14, 41, 122, …
★★★
1, 2, 5, 14, 41, 122, …
7番目の数を求めよ。
数列： 1 2 5 14 41 122
各差： +1 +3 +9 +27 +81
比： ×3 ×3 ×3 ×3 ← 一定 → 差の列が等比（公比3）
❶
各差の列を確認する
各差：1, 3, 9, 27, 81, … → 初項1・公比3の等比数列
❷
7番目に必要な各差の個数：6個（各差の1〜6番目）
各差の6番目 ＝ 1×35 ＝ 243
❸
等比数列の合計公式で各差の合計（1〜6番目）を求める
初項×(公比個数−1)÷(公比−1)
＝ 1×(36−1)÷(3−1)
＝ (729−1)÷2
＝ 728÷2
＝ 364
❹
7番目 ＝ 最初の数 ＋ 各差の合計
＝ 1 ＋ 364 ＝ 365
答え：365