整

整数・数の性質 ─ 解法フレーム

独自定義・余り・整除・根号。まず「どの型か」を見抜いてから計算に入る。

型の見分け方
型①　最頻出
独自定義演算型
a◎b＝〜、P(n)＝〜、a©b＝〜 のように「新しい記号」が登場する
→ まず「例えば」の計算を自分でやって定義を確かめる
型②
整除条件型
「(n＋25)÷7 が自然数」「式が K の倍数」
→ 分子が分母の倍数になる条件 → 余り条件に変換 → 範囲で絞る
型③
余り連鎖型
「A を B で割った余りを、さらに C で割る」
→ 外側から順に計算 → 7³＝343 など指数に注目
型④
根号・整数部分型
√n ≤ m ≤ √(n＋p)、a√b の b の条件
→ 両辺を二乗して整理 → b は「平方因子なし」で最小化
型①：独自定義演算型の手順
①
「例えば」の計算を自分でやって定義を確かめる P(50)=0、P(66)=1 などの例を実際に手で計算して、定義の意味をつかむ。読んで「なんとなく」では解けない。
②
条件分岐があれば先に確認する 「a≥b のとき〜、a＜b のとき〜」→ x◎(－2) なら「x≥－2 か x＜－2 か」を先に場合分け。
③
「逆算」が問われたら方程式にして解く 「x◎(－2)＝15 となる x を求めよ」→ 定義式を x の方程式として立て、各場合について解く。
型②：整除条件型の手順
分数が整数になる条件
(n＋25) ÷ 7 が自然数になる n を求める

① n＋25 が 7 の倍数
② n＋25 ≡ 0 (mod 7)
③ n ≡ −25 ≡ 3 (mod 7)
→ n ＝ 7k＋3（k≥0の整数）の形
複数の条件が出たら連立する。
例：n ≡ 3 (mod 7) かつ n ＝ 4b－11 → 代入して b の条件を求め、小さい順に列挙する。
展開して整除する型
(4n＋3)(4n－1) が K の倍数になる n

① 展開：16n²＋8n－3
② K で割り算 → 余り条件を求める
③ n の整数条件（自然数・範囲）と合わせて絞る
余りの計算ルール
a ≡ r (mod n) ⟺ a ＝ nk＋r
(a＋b) mod n ＝ (a mod n ＋ b mod n) mod n
(a×b) mod n ＝ (a mod n × b mod n) mod n
過去問例題（9問）
例題① ハイレベルテスト 中2・2025年2月　★★★　余り連鎖型 全文を見る →
2025 を n で割った余りを m とする
① m÷7 が整数になる n を求めよ ② 2025×m×n が 343 で割り切れる最小の n を求めよ
例題② ハイレベルテスト 中3・2024年6月 (a)　★★　整除型 全文を見る →
J ＝ (4n＋3)(4n－1) を展開し、J が K の倍数になる n を求める
① J を整理せよ ② J が K の倍数になる n をすべて求めよ（因数分解・整除）
例題③ ハイレベルテスト 中3・2024年6月 (b)　★★　根号型 全文を見る →
自然数 n を a√b（a は自然数・b は平方因子なし）の形で表す規則を定める
① n＝75 のとき a, b を求めよ ② 1≤n≤50 で「b になれない自然数」の個数を求めよ
例題④ ハイレベルテスト 中3・2022年6月 (a)　★★　根号不等式型 全文を見る →
√n ≤ m ≤ √(n＋p) を満たす自然数 m がちょうど 2 個存在する条件
① n＝4 のとき p の最小値と最大値を求めよ
例題⑤ ハイレベルテスト 中3・2022年6月 (b)　★★★　独自定義型 全文を見る →
整数 p,q,r,s に対し x ＝ pr－qs と定める
① q＝r のとき x＝10 となる整数の組 (p,q,r,s) の個数を求めよ
例題⑥ ハイレベルテスト 中3・2024年5月　★★　独自定義（剰余）型 全文を見る →
a©b ＝「a を 5 で割った余りが b である」と定義
① ©の演算を組み合わせた計算をせよ ② 条件を満たす最大の n を求めよ
例題⑦ ハイレベルテスト 中3・2021年5月　★★　整除条件型 全文を見る →
a ＝ (n＋25)÷7 が自然数となる n の条件を求める
① 条件を満たす n の形を答えよ ② n ＝ 4b－11 と連立して、小さい方から 5 番目の n を求めよ
例題⑧ 特訓選抜 中3・2022年度第6回　★★　独自定義（場合分け）型 全文を見る →
a≥b のとき a◎b ＝ a²－4ab＋b²、a＜b のとき a◎b ＝ a²－ab と定める
① 3◎1 を求めよ ② x◎(－2) ＝ 15 となる x を求めよ
例題⑨ 特訓選抜 中3・2023年度第6回　★★　独自定義（素因数）型 全文を見る →
P(n) ＝「自然数 n を素因数分解したとき素因数 3 が現れる個数」（例：P(50)＝0、P(66)＝1、P(180)＝2）
① P(162) を求めよ ② 1000 以下で P(m)＝2 を満たす m の最大値を求めよ ③ 500 以下で P(m)＝3 を満たす m の個数を求めよ
例題⑩ 難関チャレンジ 中3・2023年6月　★★★　独自定義（根号・整数部分）型 全文を見る →
[n] ＝「√n の整数部分」と定める（例：[10]＝3）
① [n]＝5 となる自然数 n の個数を求めよ ② [n]×[n＋150]＝120 となる自然数 n の個数を求めよ